FEJÉR LIPÓT, NGƯỜI THÀY CỦA NHIỀU THẾ HỆ CÁC NHÀ TOÁN HỌC HUNG

Đầu thiên kỷ thứ ba, giới khoa học Hung đã kỷ niệm trọng thể 120 năm ngày sinh của Fejér Lipót, nhà toán học kiệt xuất mà tên tuổi của ông đã được đặt cho những con đường ở Hungary. Tuy nhiên, với thời gian, dường như tên tuổi Fejér chỉ được nhắc đến trong giới chuyên môn: hỏi một thường dân cái tên "Fejér Lipót", rất có khả năng là bạn chỉ được nhận một cái lắc đầu ngơ ngác: "Ai vậy nhỉ?". Vậy, Fejér Lipót là ai?

Năm 1905, toán học gia vĩ đại người Pháp Henri Poincare (1) đến thủ đô Budapest để nhận Giải thưởng Bolyai của Viện Hàn lâm Khoa học Hungary. Vừa bước xuống khỏi toa tàu hỏa, Poincare bất ngờ đặt câu hỏi đầu tiên cho Bộ trưởng Văn hóa Hung, lúc đó đang chuẩn bị nghênh tiếp ông:

- Fejér đâu rồi?

Lúng túng và ngơ ngác, ngài bộ trưởng quay lại nhìn viên trợ lý của mình:

- Fejér? Ai vậy?

Vị khách Pháp trả lời thay người nhân viên chính phủ:

- Một trong số những nhà toán học xuất sắc nhất hoàn cầu.

Khi ấy, Fejér mới 25 tuổi, nhưng công trình toán học lừng danh của ông - định lý mang tên Fejér về chuỗi Fourier (2) - đã được tờ tạp chí "Comptes Rendus" của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp đăng tải cách đó 5 năm. Định lý cơ bản này - không biết nó, không ai trên thế giới có thể tốt nghiệp khoa Toán! - đã khiến người con một thương gia ở tỉnh Pécs (Hungary) được liệt vào hàng những nhà toán học nổi tiếng trên thế giới.

Fejér Lipót sinh ngày 9-2-1880 tại miền Nam nước Hung. Sau khi tốt nghiệp xuất sắc phổ thông, năm 1897, ông đoạt giải nhì trong kỳ thi toán của Hiệp hội Toán - Lý Hungary; đây là thành công đáng kể đầu tiên của ông. Lời nhận xét của ban giám khảo - "Ở bài tập thứ 2, Fejér đã chứng minh rộng hơn những gì bài toán đòi hỏi" - cũng đặc trưng cho mọi thành tựu trong cuộc đời Fejér: trên cơ sở những dự kiện đã có, ông luôn tìm lời giải tổng quát nhất và ngắn gọn nhất.

Mẩu chuyện nhỏ sau đây cho thấy Fejér luôn cố gắng để đạt được giải pháp tối ưu trong toán học. Cuối thế kỷ XIX, ông theo học trường Đại học Berlin. Một buổi, Fejér đi nghe bài giảng của giáo sư Hermann Schwarz (3) và được coi giáo sư giải một bài toán hình học quen biết (4) bằng 6 phép đối xứng liên tục. Cuối giờ, Fejér đã khiến nhà toán học khả kính người Đức phải kinh ngạc khi ông trình bày lời giải mới, chỉ cần đến 2 phép đối xứng. Cho đến nay, vẫn chưa ai tìm được lời giải ngắn gọn hơn cho bài toàn ấy.

Sự nghiệp của Fejér bắt đầu lên cao trong thập niên đầu của thế kỷ XX. Tốt nghiệp Đại học Tổng hợp và Đại học Kỹ thuật Budapest khi còn rất trẻ, ông du học ở Berlin, Gottingen và Paris. Năm 1902, Fejér bảo vệ thành công luận án tiến sĩ. Năm 1905, ông được cử làm giáo sư tại Đại học Kolozsvár. Ba năm sau, ông được bầu làm viện sĩ thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Hungary. Năm 1911, Fejér được đề cử làm giảng sư Đại học Tổng hợp Budapest và từ đó cho đến khi mất (năm 1959), ông là người thày của nhiều thế hệ các nhà toán học Hung.

Fejér là người sáng lập trường phái toán học Hung; hầu như tất cả các nhà toán học có tiếng của Hung trong thế kỷ XX đều có dịp học hỏi ở ông. Một trong số họ, Neumann János (5), người môn đệ được Fejér yêu quý đặc biệt và được ông gọi bằng cái tên "chàng cuồng lớn nhất của nước Hung", đã ký trong bức thư viết từ Berlin năm 1929 như sau: "Một học trò biết ơn thày". Trong lá thư đó, thông qua cuộc trò chuyện với Szilárd Leó (6), Neumann János muốn áp dụng một số bài tập của các cuộc thi Toán phổ thông ở Hung trong các điều kiện giáo dục tại Đức và ông thỉnh thị thày về việc này.

Ngay trong đời, Fejér Lipót đã nổi danh toàn thế giới, ông được bạn hữu và các môn sinh kính trọng; hiếm có nhà khoa học Hung sinh sống trong nước lại được như ông về khoản này. Lẽ ra, Fejér đã có thể là giáo sư thỉnh giảng tại mọi trường đại học nổi tiếng ở nước ngoài - tuy vậy, hầu như không bao giờ ông rời nước Hung.

Và tại quê hương, ông đã trải qua đủ vinh, nhục.

Thoạt tiên, Fejér được tôn vinh. Năm 1918, công trình nghiên cứu về phép nội suy của ông được giải thưởng lớn của Viện Hàn lâm Khoa học Hungary. Năm 1930, Fejér được bầu làm viện sĩ hàn lâm. Ông còn được nước Pháp tặng Bắc đẩu Bội tinh và là một trong số bốn nhà khoa học nổi tiếng nhất Châu Âu được chính thức mời dự cuộc Triển lãm Thế giới ở Chicago năm 1933.

Tuy nhiên, chưa đầy một thập kỷ sau, danh tiếng của Fejér cũng không giúp được ông trong thời chiến loạn lạc. Thời Đệ nhị Thế chiến, khi Szálasi - chính khách người Hung, có tư tưởng phát-xít - nắm quyền, Fejér phải sống trong một ngôi nhà bị đánh dấu sao vàng dành cho người dân gốc Do Thái và tính mạng ông luôn bị đe dọa. Sự căng thẳng thần kinh thường trực trong giai đoạn đó đã để lại dấu ấn trong Fejér suốt cuộc đời.

May thay, chính thể Hung thời hậu chiến đã biết đánh giá đúng mức tài năng của Fejér. Năm 1948, trong dịp đầu tiên, ông được nhận Giải thưởng Kossuth - giải thưởng cao quí nhất của nước Hung. Sau đó, Fejér còn là "chủ nhân" của nhiều giải thưởng quốc gia khác, kể cả Huân chương Lao động Cờ Đỏ của chế độ cộng sản! Tuy nhiên, Fejér không để tâm và cũng không am hiểu chính trị, ông chỉ sống trong thế giới khép kín của toán học. Ông có một người bạn tri âm cùng tuổi, một nhân vật khổng lồ khác của nền toán học Hung: Riesz Frigyes (7). Hai người thường xuyên tranh luận, thậm chí đụng độ, nhưng không bao giờ xa rời nhau; mối quan hệ của họ được đặc trưng bởi nhiều giai thoại đặc sắc mà cho đến nay, nhiều năm sau khi họ đã qua đời, dân toán ở Hung vẫn thường nhắc lại với vẻ thích thú.

Trong đời, Fejér là tác giả của 109 công trình toán học có giá trị, chủ yếu về giải tích. Đa số những kết quả do ông đạt được đã mở ra các lĩnh vực nghiên cứu mới, hoặc trở thành cơ sở cho những nhánh mới trong toán học. Trong các công trình của mình, Fejér luôn cố gắng diễn đạt một cách cô đọng, đơn giản và dễ hiểu. Đồng thời, ông còn là một nhà sư phạm lớn, từng khuyến khích và giúp đỡ nhiều thế hệ học trò, khiến họ trở thành những nhà toán học lớn, đem lại danh dự cho nền toán học Hung trên thế giới. Đáng tiếc là trong số đó, dưới thể chế "cộng sản hiện thực" độc đoán và quan liêu, không hiếm người đã bị hắt hủi, sa vào cảnh thất nghiệp, sa cơ lỡ vận, phải kiếm sống bằng những nghề nghiệp xa lạ ngay chính tại quê hương họ. Nước Hung đã mất biết bao nhà khoa học tài năng như thế!

Một học trò của Fejér, nhà văn Ottlik Géza đã nhận xét về thày: "Fejér Lipót vĩ đại đến mức không những ông không biết nhân chia, mà còn chẳng biết lấy đạo hàm, tích phân. (Xin mở ngoặc: ở đây, chúng ta cần hiểu rằng nếu chưa ai tìm ra phép vi phân thì chắc chắn ông sẽ tìm ra, nhưng ông sẽ không biết sử dụng nó vì ông không thể để tâm đến những vấn đề "hạ cấp" như vậy). Dễ thấy là trong khi giảng bài, đầu óc ông luôn hướng đi nơi khác. Chẳng phải bộ óc ông, mà toàn bộ cơ thể ông luôn hướng đến những mảnh đất xa lạ mà chúng ta không thể với tới. Ông làm trò ảo thuật đó vô cùng khéo léo: một bài giảng vô cùng phức tạp cũng chỉ được ông dụng tâm một phần tám hay một phần mười sáu, vậy mà bất cứ ai, kể cả người chỉ để ý qua loa đến những lời của ông, cũng lập tức hiểu được vấn đề mà không phải động não gì ghê gớm. Nghe ông giảng, hay chỉ thông qua sự hiện diện của ông, đã nhiều lần tôi hiểu được những gì ông chưa nói, chưa thể nói. Nhưng điều này đã đòi hỏi một lời giải đáp của người trong nghề. Không thể nói cho người ngoài cuộc hiểu được Fejér Lipót là người như thế nào. Đó là một người khổng lồ. Ông tồn tại như chỉ để an ủi thế gian này. Ai không quen biết ông, người đó đã bỏ qua một khía cạnh của thế giới và không bao giờ anh ta bù đắp nổi điều đó".

Chúng ta, những kẻ "ngoại cuộc", chỉ có thể đồng ý với nhận định đó!

Chú thích:

(1) Jules Henri Poincare (1854-1912): nhà toán học lớn nhất của nước Pháp trong nửa sau thế kỷ XIX, giáo sự Đại học Sorbonne, có nhiều công trình giá trị về phương trình vi phân, lý thuyết hàm số phức, chuỗi phân kỳ, lý thuyết xác suất, topology...

(2) Chuỗi Fourier là một khái niệm toán học vô cùng quan trọng trong nhiều lĩnh vực ứng dụng. Tuy nhiên, trong các ứng dụng thực tiễn, trước thời Fejér, những tiêu chuẩn hội tụ ứng với các chuỗi Fourier lại quá "nghiêm khắc".

Fejér đề xuất một giải pháp "cởi mở" hơn như sau: khi tìm hiểu tính hội tụ của một chuỗi Fourier gồm các phần tử a[1], a[2],..., a[n]..., thay vì nghiên cứu chuỗi được tạo bởi những tổng từng phần s[k]= a[1]+a[2]+...+a[k], ta nên xem xét chuỗi được tạo bởi trung bình cộng của những tổng từng phần b[n]= {s[1]+s[2]+...+s[n]}/n. Nếu chuỗi b[n] hội tụ, ta gọi chuỗi Fourier "summable theo nghĩa của Fejér". Có thể chứng tỏ được rằng nếu chuỗi Fourier hội tụ thì nó cũng "summable theo nghĩa của Fejér", tức là lim s[n] {n -> vô cùng}= lim b[n] {n -> vô cùng}.

Định lý Fejér đã đem lại rất nhiều hệ quả quan trọng. Chẳng hạn: "Tất cả những hàm số f(n) liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2*Pi đều có thể biểu diễn trực tiếp dưới dạng trung bình cộng của những tổng từng phần của chuỗi Fourier b[n] (x), với độ chính xác tùy ý". Dễ thấy là định lý Weierstrass - "Mọi hàm số liên tục trong khoảng đóng [a,b] đều có thể biểu diễn trực tiếp dưới dạng các đa thức với độ chính xác tùy ý" - chỉ là một hệ quả "đương nhiên" của định lý nói trên.

Cuối thế kỷ XIX, giới toán học thường nghĩ rằng vấn đề chuỗi Fourier đã là một lĩnh vực "khép kín", không ai có thể thêm thắt hay bổ sung gì. Nhưng năm 1900, khi Fejér công bố kết quả nghiên cứu của ông trên tập san "Comptes Rendus", nhiều người coi thời điểm đó là "mốc khởi đầu thời kỳ Phục hưng của chuỗi Fourier"!

(3) Hermann Amandeus Schwarz (1843-1921): nhà toán học Đức.

(4) Đây là một bài toán quen thuộc đối với các học sinh trung học: "Trong số các tam giác có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh của một tam giác nhọn, tam giác có chu vi nhỏ nhất là tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 chân của các đường cao của tam giác đã cho".

(5) Neumann János (1903-1957): nhà bác học Hung, người cha của máy điện toán, tác giả của nhiều công trình nổi tiếng về lý thuyết toán học của cơ học lượng tử và nhiều ngành toán học khác như lý thuyết tập hợp, lý thuyết trò chơi...

(6) Szilárd Leó (1898-1964): nhà vật lý Hung, người phát minh sự giải phóng năng lượng nguyên tử bằng phản ứng dây chuyền của các neotron. Cùng Enrico Fermi, Szilárd là người xây dựng lò phản ứng hạt nhân đầu tiên.

(7) Riesz Frigyes (1880-1956): nhà toán học nổi tiếng người Hung, tác giả những công trình xuất sắc về lý thuyết tập hợp tuyến tính, lý thuyết hàm số thực, topology... Ông còn là người đề xướng và đặt nền móng cho một ngành toán học mới: giải tích chức năng.